Papersera.net

OT:

Citazione da: ML-IHJCM - Mercoledì  4 Apr 2018, 14:46:52

(il corso di fisica obbligatorio all'universita' e' servito a convincermi che voglio stare il piu' lontano possibile dall'orrore di quella materia

Posso chiederti perché? A me stava antipatica sin dai tempi del liceo, poiché mi dava l'impressione di una matematica imbastardita. Ma forse era il modo d'insegnarla, i testi concepiti male, boh.

Rapido fuoritema: al liceo potevo pensare che il problema fosse che mi insegnavano fisica senza adeguati strumenti concettuali, anche la matematica che mi mostravano nel triennio lasciava molto a desiderare (non ho molta stima dell'insegnante che ebbi allora) e per entrambe le materie pensavo che all'universita' mi sarebbero state insegnate adeguatamente. Speranza pienamente realizzatasi con la matematica, non con la fisica. Direi che ci hai azzeccato pienamente chiamandola "una matematica imbastardita". Forse, se insegnata da matematici (e non nei primi anni di universita', quando mancano ancora le basi) avrei potuto apprezzarla. Insegnata dai fisici diventava una serie di ragionamenti fasulli, da presa in giro intellettuale, e di conti fatti senza che potessi vederci alcuna razionalita'.
Salverei la meccanica razionale: l'impressione che mi aveva fatto il corso obbligatorio all'universita' era che fosse davvero parte della matematica e quindi di per se' una bella materia; purtroppo pero' insegnata troppo presto, al secondo anno, rendendo lo studiarla una tortura. (Un mio mezzo sogno sarebbe trovarmi un giorno a tenere un corso di meccanica, in modo da essere costretto a rivedermi per bene tutta la teoria, ma con le basi che ho adesso e allora mi mancavano.)

Tornando in tema: pienamente d'accordo con te sullo spirito delle storie italiane.

Insegnata dai fisici diventava una serie di ragionamenti fasulli, da presa in giro intellettuale, e di conti fatti senza che potessi vederci alcuna razionalita'.

Uguale! A differenza di te, però, avrei preferito un approccio più "naturalistico", magari anche sperimentale, perché proprio non vedevo come quella serie di formulette e grandezze inventate ad mentulam avesse a che fare con la realtà.
Insomma, prima mi descrivi bene il fenomeno, poi mi spieghi cosa c'entrano le formulette e come possono aiutarci.

Citazione da: feidhelm - Venerdì  6 Apr 2018, 16:55:51

OT:

Citazione da: ML-IHJCM - Mercoledì  4 Apr 2018, 14:46:52

(il corso di fisica obbligatorio all'universita' e' servito a convincermi che voglio stare il piu' lontano possibile dall'orrore di quella materia

Posso chiederti perché? A me stava antipatica sin dai tempi del liceo, poiché mi dava l'impressione di una matematica imbastardita. Ma forse era il modo d'insegnarla, i testi concepiti male, boh.

Rapido fuoritema: al liceo potevo pensare che il problema fosse che mi insegnavano fisica senza adeguati strumenti concettuali, anche la matematica che mi mostravano nel triennio lasciava molto a desiderare (non ho molta stima dell'insegnante che ebbi allora) e per entrambe le materie pensavo che all'universita' mi sarebbero state insegnate adeguatamente. Speranza pienamente realizzatasi con la matematica, non con la fisica. Direi che ci hai azzeccato pienamente chiamandola "una matematica imbastardita".

OT estremo, ma è l'esatto contrario: è la "matematica" delle superiori che di fatto è il percorso che porta al calcolo infinitesimale, che dobbiamo a fisici come Newton.

Manca all'appello una trattazione di - per esempio - logica, probabilità e calcolo combinatorio, ricerca operativa, teoria dei numeri, teoria degli insiemi, teoria dei grafi e tutte le matematiche "discrete".

OT estremo, ma è l'esatto contrario: è la "matematica" delle superiori che di fatto è il percorso che porta al calcolo infinitesimale, che dobbiamo a fisici come Newton.

Manca all'appello una trattazione di - per esempio - logica, probabilità e calcolo combinatorio, ricerca operativa, teoria dei numeri, teoria degli insiemi, teoria dei grafi e tutte le matematiche "discrete".

Siamo del tutto fuori tema (i moderatori farebbero bene a spostare questo altrove). Pero' mi sento in dovere di risponderti per una serie di motivi, a cominciare dal fatto che la mia prima reazione emotiva a commenti del genere e' quella di sentirmi parecchio insultato. Sono ragionevolmente sicuro che questa non era la tua intenzione e lo dico solo per sottolineare la mia sensibilita' su certi argomenti (oltre che la mia professione, la matematica e' quanto piu' amo al mondo, con la possibile eccezione dei paperi) e giustificare in anticipo certe asprezze che potranno sfuggirmi in quanto segue. Anche perche' il tuo intervento mi da' l'impressione (possibilmente del tutto erronea, e certo motivata in massima parte dal fatto che il tuo commento mi colpisce a livello di pancia piuttosto che di cervello) di un maldestro tentativo di mostrare una competenza che non hai.

Non capisco dove tu voglia arrivare con quello che scrivi. Io e feidhelm stavamo soltanto commentando sulla nostra esperienza nello studiare matematica e fisica. 

Non riesco a dare un significato alla frase "è la "matematica" delle superiori che di fatto è il percorso che porta al calcolo infinitesimale. Intendi dire che la matematica delle superiori e' un preliminare necessario per lo studio del calcolo infinitesimale (vero, almeno nel sistema che abbiamo ora) e che quest'ultimo e' il suo sviluppo naturale (falso, a meno di cadere nella fallacia di credere che il percorso di studi piu' comune coincida con la realta' della matematica - un errore scusabile al massimo in qualcuno la cui nozione di cosa sia e come debba essere compresa la matematica sia ferma a qualche decennio avanti i primi volumi di Bourbaki e quindi in ritardo di oltre cent'anni) ?
 E il che dobbiamo a fisici come Newton che significa? Che storicamente il calcolo infinitesimale nell'Europa del diciassettesimo secolo si sia sviluppato in parte per servire la fisica ed abbia avuto un grande impulso dal collegamento con quest'ultima e' un fatto, ma ignoro quanto cio' sia un accidente storico e quanto un'intrinsica necessita' della materia. Guardando ai predecessori, non so cosa avesse motivato e guidato ne' Archimede ne' la scuola di analisi del Kerala ed ho solo una vaghissima idea di quanto fatto dall'uno e dagli altri (o da tutti quelli in mezzo); quanto all'Europa secentesca, credo che le questioni di geometria (tipo aree e tangenti) fossero una motivazione importante per il calcolo anche a prescindere dalla fisica. Newton fu certamente in primis un fisico, ma fu anche un grandissimo matematico e sospetto che il suo interesse per la materia si estendesse anche a problemi di matematica pura (ammesso che la distinzione avesse senso all'epoca; quel che so per certo e' nel mio lavoro il nome di Newton lo incontro quasi soltanto per il poligono omonimo, utilissimo per la geometria non-archimedea e suppongo sconosciuto ai fisici). E l'altro grande padre del calcolo infinitesimale fu Leibniz, il cui interesse per la fisica era certo minore di quello che provava per le monadi, e il cui lavoro viene generalmente riconosciuto come indipendente da quello di Newton.

Quella dei rapporti tra matematica e fisica e' una questione complessa (e affascinante), in cui ora non voglio entrare: il dialogo, spesso difficile, tra le due discipline si e' mostrato fruttuoso oltre le "ragionevoli" aspettative (immagino tu abbia colto la citazione ; per un punto di vista di qualche decennio piu' moderno, questo dovrebbe essere accessibile anche senza abbonamenti). Ma io e feidhelm stavamo soltanto discutendo delle nostre reazioni ai corsi seguiti: come ho detto sopra, quelli di fisica mi lasciarono schifato, convincendomi che voglio tenermi lontano da quel modo di pensare (impressione rafforzata da molti degli articoli cui mi capita di dare una scorsa quando sull'arXiv qualche fisico cerca di dare un contributo al mio settore; e, piu' generalmente, da varie delle occasioni in cui mi capita di sentire un fisico esprimersi sulla matematica). Di solito, il motivare lo studio di una parte della matematica in base al fatto che ha stretti rapporti con la fisica serve al massimo a convincermi che preferisco tenermene alla larga. E' la mia reazione personale. Certamente sono colpevole di pregiudizi; ma ho diritto ai miei gusti e, avendo capacita' intellettuali limitate ed un numero gia' sufficientemente alto di questioni da studiare, non voglio impegnarmi in un serio sforzo aggiuntivo senza essere convinto che ne valga la pena. La mia migliore ragione per studiare matematica e' che e' cosi' bella in se' da lasciarmene perpetuamente innamorato.

La frase

Manca all'appello una trattazione di - per esempio - logica, probabilità e calcolo combinatorio, ricerca operativa, teoria dei numeri, teoria degli insiemi, teoria dei grafi e tutte le matematiche "discrete".

e' quella che piu' mi disturba. Sembra completamente scorrelata dal discorso precedente. Stai rimproverando me e feidhelm per non aver menzionato tutte queste nozioni "fondamentali"? (Ipotesi alternativa: e' un lamento per il fatto che queste materie non si insegnano alle superiori in Italia. Ma per il poco che ne ne so, sono almeno in parte gia' nei programmi.)
Mi disturba anche l'impressione (forse ho capito male) che si vogliano raccogliere tutte le sottodiscipline indicate sotto l'ombrello di "matematiche discrete". Sono convinto che la matematica discreta non esista: esistono varie parti della matematica dove la topologia dei numeri reali (cio' che si soleva indicare come il "continuo" - termine oggigiorno desueto, a quanto ne so) e' irrilevante o quasi; ma:
1- non e' affatto detto che la topologia corrispondente sia quella discreta;
2 - le varie aree genericamente indicate come "matematica discreta" sono troppo diverse le une dalle altre perche' l'unificazione abbia senso da un punto di vista moderno (tranne forse che per coloro la cui competenza in matematica si limiti a qualcosa tipo una laurea in ingegneria: aver seguito qualche corso di analisi ed avere una piu' o meno vaga cognizione che esiste una parte della matematica che non e' analisi). 
Per il primo punto, tanto per fare esempi un po' piu' concreti: in teoria dei numeri (ed in gran parte dell'algebra), la topologia piu' naturale e' quella profinita, non quella discreta (giusto l'altro giorno mi sono divertito a dimostrare che un certo anello consistesse di "tanti" "interi" osservando che e' denso in una palla aperta e compatta - avessi cercato di evitare la topologia, credo che la dimostrazione avrebbe preso un paio di pagine invece che due righe). Da esperto del settore, l'asserzione che la teoria dei numeri sia matematica discreta mi offende come indice di un'estrema ignoranza (l'offesa e' in parte dovuta alla perdurante mancanza di cognizione di concetti basilari anche tra molti matematici). Quanto alla teoria degli insiemi (per restare al tuo elenco), credo - da profano - che gran parte della ricerca attuale sia relativa a questioni di topologia generale (per esempio, il dibattito se accettare come assioma l'ipotesi del continuo o la sua negazione). Ed e' da oltre ottant'anni che la teoria della probabilita' e' fondata sulla teoria della misura (la quale certamente non e' matematica discreta).
Sul secondo punto: non so cosa tu intenda con "calcolo combinatorio", ma di solito la teoria dei grafi e' vista come una parte della combinatorica. Sebbene parti di quest'ultima siano vicine a parti della teoria dei numeri (anche se ho sempre l'impressione che si tratti di un avvicinamento forzato ed in definitiva fuorviante - ma potrebbe essere un errore del mio pregiudizio), in generale l'aritmetica e' molto piu' prossima all'algebra ed alla geometria algebrica. Logica e teoria degli insiemi sono spesso messe in prossimita', ma (nella mia ignoranza) non so quanto cio' abbia senso. E - per concludere con discipline nel tuo elenco - non ho idea di cosa sia la ricerca operativa, ma quanto leggo qui mi lascia vari dubbi sulla liceita' del considerarla parte della matematica e non piuttosto come una delle tante scienze basate sulla matematica (sospetterei che indicarla come parte della matematica sia la cosa piu' sensata per ora, in attesa di una separazione come avvenuto per l'informatica).

la mia prima reazione emotiva a commenti del genere e' quella di sentirmi parecchio insultato

Non riesco a immaginare come ci sia riuscito, ma me ne scuso, era tutto tranne che mia intenzione.

un maldestro tentativo di mostrare una competenza che non hai.

Anche quello non era decisamente mia intenzione.
Per il resto, la mia commissione di laurea non era stata così critica sulle mie competenze.

Stai rimproverando me e feidhelm

Nemmanco per sogno!

Non riesco a dare un significato alla frase "è la "matematica" delle superiori che di fatto è il percorso che porta al calcolo infinitesimale."

La dico diversamente: se le notizie che ho sono corrette, quella che da noi   la matematica di quarta e quinta superiore in america si chiama "precalculus", non a caso.

Non capisco dove tu voglia arrivare con quello che scrivi.

Quello che volevo dire è quello che ho detto in modo sintetico: la matematica-delle-superiori è focalizzata su un campo della matematica, a scapito di un sacco di altri e più in generale del fare matematica in astratto.

Se la-fisica-delle-superiori assomiglia a la-matematica-delle-superiori non c'è dunque di che meravigliarsi - è perchè la-matematica-delle-superiori non è, per così dire, un campione rappresentativo di tutte le matematiche.

Se alle superiori si studiasse teoria dei grafi o logica matematica o teoria dei numeri, la somiglianza sarebbe molto più difficile da trovare.

Sono convinto che la matematica discreta non esista

Infatti non esiste, concordo che è un ombrello sotto cui stanno tantissime matematiche relativamente scorrelate (non necessariamente la teoria dei numeri)
Non di meno, è pieno di Discrete Mathematics 101 negli atenei del mondo e libri di testo similmente intitolati (che spesso comprendono una infarinatura di teoria dei numeri per non sapere dove altro metterla).

Logica e teoria degli insiemi sono spesso messe in prossimita', ma (nella mia ignoranza) non so quanto cio' abbia senso.

Questione forse di lana caprina, ma non mi pare irragionevole, per quanto non tutta la logica sia teoria degli insiemi (e si sia cercato di superare la teoria degli insiemi come fondazione della matematica, es. teoria dei tipi o delle categorie).

Ripeto l'invito ai moderatori a spostare gli ultimi interventi di questa discussione (magari in qualcosa tipo "materie scolastiche" o simili). Non rispondo privatamente perche' qualche altro utente potrebbe essere curioso sull'argomento, ma cio' che scrivo non e' di nessun interesse per chi voglia parlare di fumetti.

...

Se capisco bene, la base del tuo intervento, quello che ti ha spinto a commentare quanto io e feidhelm dicevamo, e' una certa insoddisfazione per i programmi di matematica delle superiori. Non era cio' di cui parlavo io (e credo nemmeno feidhelm) e questo mi aveva alquanto disturbato: non riuscendo a capire come interpretare il tuo discorso (che, appunto, mi sembrava - e mi sembra tuttora - non avere quasi nessuna attinenza con lo spunto di avvio), avevo formulato ipotesi anche poco gradevoli (tipo il discorso della competenza: me ne scuso, ma quella lista di sottodiscipline, senza legame - ai miei occhi-  con le righe precedenti, mi aveva davvero lasciato il dubbio di uno che parlasse senza cognizione; il senso di offesa veniva anche dall'ipotesi che un incompetente volesse impartirmi una lezione).

Procedo basandomi su quanto appunto mi sembra di aver capito: cio' di cui vuoi parlare sono i programmi dei corsi di matematica pre-universita'. Argomento interessante e meritevole di attenzione.

se le notizie che ho sono corrette, quella che da noi   la matematica di quarta e quinta superiore in america si chiama "precalculus", non a caso.

Ed in effetti il "calculus" e' la base per i corsi di fisica. Il senso delle tue parole diventa piu' chiaro.

Sulla correttezza di quanto scrivi: direi sostanzialmente di si', per quanto ne so (non sono sicuro di essere davvero meglio informato di te). 
Ho una pessima opinione del cosiddetto "calculus": la mia impressione generale e' che si tratti di un complotto per convincere la gente che la matematica sia del tutto incomprensibile e non andrebbe mai studiata. In termini un po' piu' neutrali: mi sembra che con "calculus" si intenda l'analisi dei primi due anni dei nostri corsi universitari, ma fatta alla carlona, nascondendo le idee (le definizioni, le dimostrazioni, i controesempi e tutte le altre cose che ci permettono davvero di ragionare e comprendere) sotto il tappeto. Avevo sperimentato qualcosa di simile nell'ultimo anno di liceo: non ho mai capito quanto dipendesse dai programmi e quanto dall'insegnante, ma per fortuna ero gia' stato convertito alla matematica qualche anno prima e cosi' non ne fui troppo danneggiato (semplicemente, smisi di studiare per quell'anno e suppongo che l'esperienza contribui' a farmi decidere piu' avanti che non volevo diventare un analista). Ma se non avessi gia' avuto una chiara nozione di cosa sia la matematica o se mi fossi trovato corsi del genere all'universita', forse sarei finito a far altro.

la matematica-delle-superiori è focalizzata su un campo della matematica, a scapito di un sacco di altri e più in generale del fare matematica in astratto.

Ni. Non sono sicuro di come sia la situazione attuale, o di quando le hai fatte tu (una quindicina di anni dopo di me, supporrei dall'eta' indicata nel tuo profilo). Parlo in base alla mia esperienza (liceo scientifico, seconda meta' degli anni '80): i primi due anni delle superiori sono stati la scoperta di quella meraviglia chiamata "geometria euclidea" (in una versione moderna, utilizzando in certa misura il linguaggio della teoria ingenua degli insiemi - tipo " la "direzione" e' definita come una classe di equivalenza per la relazione di parallelismo"). E' quello e' fare matematica. Aggiungici un minimo di introduzione all'algebra ed al linguaggio insiemistico (definizioni di gruppo, anello e campo, che restavano vuote in quanto senza veri esempi; ma anche classi di equivalenza con l'esempio delle congruenze modulo n, o concetti per me all'epoca sorprendenti come quello di composto di due funzioni); ed anche un'introduzione alla teoria cantoriana delle cardinalita' (non ho mai capito se fosse nei programmi o se avessi solo avuto la fortuna di un'insegnante intelligente e ben preparata).
"Fare matematica": ripeto, nel primo biennio delle superiori mi hanno fatto fare matematica senza differenze qualitative con quanto sperimentato in seguito all'universita'. E dal quel punto in poi, non ho mai avuto dubbi sul fatto che volessi diventare un matematico.

Se la-fisica-delle-superiori assomiglia a la-matematica-delle-superiori non c'è dunque di che meravigliarsi

Ma questo - la presunta somiglianza tra fisica-delle-superiori e matematica-delle-superiori - e' quasi l'esatto contrario di quello che dicevamo sia io che feidhelm (mi sembra). Parlando solo per me stesso: e' vero che scrissi "anche la matematica che mi mostravano nel triennio lasciava molto a desiderare", ma se mi rendevo conto di quanto lasciasse a desiderare era proprio perche' la vedevo cosi' inferiore a quella che mi fu mostrata nel biennio precedente. E per la matematica ero abbastanza sicuro che il problema fosse in gran parte dovuto all'insegnante. Per la fisica, mi aspettavo che la radice del problema invece fosse il non poter ancora utilizzare il calcolo infinitesimale; all'universita' mi sono ricreduto e ho finito per decidere che i fisici sono una genia di irredimibili nemici del ragionamento (spero sia chiaro il tono semischerzoso delle ultime parole).

- è perchè la-matematica-delle-superiori non è, per così dire, un campione rappresentativo di tutte le matematiche. Se alle superiori si studiasse teoria dei grafi o logica matematica o teoria dei numeri, la somiglianza sarebbe molto più difficile da trovare.

Nulla da obiettare su questo. Pero' sarebbe desiderabile studiare queste discipline alle superiori? E se si', in quale misura? (La mia risposta e' un "Si', indubbiamente! "per la prima domanda, ma sono pieno di dubbi sulla seconda - vedi sotto.)

Non di meno, è pieno di Discrete Mathematics 101 negli atenei del mondo e libri di testo similmente intitolati

Questo indica solo che "Discrete Mathematics" esiste come unita' didattica, non come branca a se' stante della matematica.
Negli ultimi anni sono stato costretto ad insegnare un corso con questo come libro di testo ufficiale: il disgusto risultatone era tra le cause della mia forte reazione emotiva al tuo intervento. Non ce l'ho con il libro in questione: ce l'ho con il corso, "Matematical reasoning, logic and problem-solving". Per cominciare, non ho mai capito cosa significhi "problem-solving", mi sento sicuro che l'unico metodo per apprendere il "ragionamento matematico" sia quello di seguire un po' di corsi seri su qualche branca piu' o meno "elementare" della matematica (ergo, non qualcosa chiamato "mathematical reasoning" in astratto) e ho enormi dubbi sull'utilita' di studiare logica in un corso per principianti. (Altri problemi - molto piu' seri - mi venivano dal fatto che quel corso sembrava molto fuori posto nel programma in cui era inserito; ma discuterne sarebbe troppo lungo.)
Per quanto ne capisco, questi "Discrete Mathematics 101" sono corsi il cui obiettivo e' riempire un po' di buchi ed insegnare un po' di trucchi del mestiere ai principianti: a quanto posso giudicare, una buona meta' dei contenuti tipici di un corso del genere li avevo visti qua e la' al liceo (e quindi sono piu' che d'accordo che queste cose vadano insegnate alle superiori, come mi sembra sia la tua opinione) e gran parte del resto l'ho imparato per strada in so quali occasioni. Sempre in base alla mia esperienza di discente, sono molto scettico sull'utilita' di avere corsi di questo tipo in un programma universitario di studi in matematica (ma si giustificano in altri contesti: non so se hai presente, ma a quanto ne so in Nordamerica i corsi di laurea sono molto piu' elastici che da noi e quindi c'e' anche bisogno -ad esempio - di offire corsi piu' o meno annacquati per studenti che vogliano fare un "major" in qualche disciplina umanistica e un "minor" in matematica).

(che spesso comprendono una infarinatura di teoria dei numeri per non sapere dove altro metterla).

Cosi' come contengono un'infarinatura di molte altre discipline, piu' o meno per lo stesso motivo. (Essendo il mio campo, sono molto piu' reattivo alla teoria dei numeri: mi disgusta profondamente che le congruenze siano discusse in un corso di matematica discreta e non in uno di algebra. Ma sono felice che si parli di congeruenze nelle ore di matematica alle superiori; solo, non chiamatela "matematica discreta".)

Questione forse di lana caprina, ma non mi pare irragionevole, per quanto non tutta la logica sia teoria degli insiemi (e si sia cercato di superare la teoria degli insiemi come fondazione della matematica, es. teoria dei tipi o delle categorie).

Nemmeno a me pare irragionevole mettere logica e teoria degli insiemi vicine, ho solo qualche dubbio (da profano) sulla profondita' del rapporto tra le due. La logica sembrerebbe anche molto vicina a certe aree dell'algebra (in quest'ultima sono ferrato), ma di nuovo non so quanto.
Sul ruolo fondativo della teoria degli insiemi: da un punto di vista "psicologico" (o forse dovrei dire "linguistico"; intendo, come cornice e guida per la metodologia del pensiero), credo che chiunque lavori in aree piu' o meno "algebriche" (probabilmente dovrei aggiungere "e/o topologiche/geometriche") la abbia sostituita da anni con le categorie; e immagino sia solo una questione di qualche decennio prima che il punto di vista categorico diventi quello dominante in tutta la matematica pura. La mia impressione e' che si possa parlare di un cambio di paradigma come quello che, nei decenni tra Cantor ed il primo Bourbaki, hanno portato la teoria (piu' o meno ingenua) degli insiemi ad essere il linguaggio della matematica,
Sotto altri aspetti, il ruolo fondativo degli insiemi sembra piu' difficile da scalzare: non sono per nulla un esperto, ma giusto qualche settimana fa mi ero trovato a sfogliare quest'interessante articolo:
" Maddy, Penelope
Set-theoretic foundations.
In:  Foundations of mathematics,  289–322,
Contemp. Math., 690, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2017." (niente link perche' non e' accessibile gratuitamente; se interessa, immagino che se ne possa trovare una copia sulla pagina dell'autrice o sull'arXiv.)
Della teoria dei tipi, ammetto che non so nulla.

tantissime matematiche

Piccola correzione: preferisco il singolare, e' sempre un'unica disciplina. Una delle cose piu' affascinanti e' proprio la continua scoperta di rapporti inaspettati tra parti che sembravano lontanissime.

Per concludere: a quanto capisco (e spero di non attribuirti intenzioni che non hai), quello che ti ha spinto ad intervenire era il sostenere la tesi che gli argomenti coperti da corsi tipo "Discrete mathematics 101" andrebbero studiati alle superiori. Sono in gran parte d'accordo, anche perche' questa e' stata proprio la mia esperienza. Non mi e' chiaro quanto sia stato eccezionale il mio caso, ma so che non ero lo studente tipico e le lezioni scolastiche erano solo una delle fonti da cui apprendevo. D'altra parte, molte di queste cose le ho imparate semplicemente perche' le trovavo nei libri di testo delle medie e del liceo che mi capitava di sfogliare, quindi sono sicuro che fossero gia' almeno in parte incluse nei programmi scolastici in vigore in Italia negli anni '80.
E se quando scrivi "se alle superiori si studiasse teoria dei grafi o logica matematica o teoria dei numeri" hai in mente il livello di profondita' che appare in un "Discrete mathematics 101", di primo acchito mi sembra che possa essere adeguato.